随着城市轨道交通的快速发展，列车振动问题逐渐成为人们关注的焦点。列车制动是一个复杂的过程，其振动问题尤其值得关注。列车制动产生的振动不仅会造成舒适性和平稳性下降，降低零部件的使用寿命，还会造成轮对的异常磨耗，进一步加剧车辆的振动行为[1]。
列车的制动行为对列车的运行状态有很大的影响。牵引和制动力的合理分配对列车运行的平稳和安全、保持良好的运行状态至关重要[2-3]。其中，制动副的黏滑振动是制动器发生振动的关键因素[4]。WEI等[5]基于Crowther模型，建立扭转振动的纯制动工况4自由度微分方程，预测混沌黏滑振动的存在。MICKOSKI等[6]综述了铁路车辆制动系统中的振动现象，特别是黏滑振动的研究，探讨了其振荡模式和发生机制。鲁昌霖等[7]通过建立三维动力学模型，将求解结果与数值求解结果进行对比，研究了列车制动系统的振动情况。ZHANG等[8-9]考虑了制动副界面的磨损颗粒，研究了磨粒对制动系统摩擦颤振的影响效果。
制动过程中轮对的振动会导致车轮的多边形磨损，车轮不圆现象会进一步使车辆的振动行为加强[10]。刘奇锋等[11]发现车轮的多边形阶数与轴箱振动频率强相关。KANG等[12]通过有限元仿真研究了车轮高阶多边形磨损的形成机制和演变过程。MA等[13]研究了高速铁路无砟轨道系统中车轮多边形磨损的起始机制。该研究通过精细化振动模型分析了车轮多边形磨损的形成原因及其对轨道系统的动态影响。宋瑞等[14]利用数值法研究了制动副振动对车轮磨耗的影响，但模型未考虑制动系统与轮对的纵向振动的耦合关系，ZHU等[15]利用有限元仿真研究了制动系统对轮对磨耗的影响，并基于摩擦自激理论，进一步探讨了制动系统对高速列车车轮多边形磨损形成的影响[16]。
综上所述，在当前的研究中，列车制动行为与车轮多边形之间的关系日益受到关注。但目前研究多以有限元分析为主，并且忽视了轮轨黏着条件对制动稳定性和车轮磨耗的耦合作用。本文考虑制动副与轮对系统的耦合关系，探究不同轨道条件对列车制动稳定性的影响，并进一步探讨不同轨道条件下的车轮磨耗的问题。
1 制动系统模型
在建立列车制动动力学模型之前，进行如下假设：
1) 求解轮对的扭转振动时，将制动盘、制动块和轮对等效为具有固定转动惯量的圆盘，求解轮对的纵向振动时将轮对等效为具有固定质量的质量块，该模型涉及的所有刚度和阻尼都是恒定的常数。
2) 针对各子系统的运动，均只考虑其扭转自由度或纵向自由度，忽略其他方向的振动，在求解轮轨力时也忽略横向蠕滑与自旋蠕滑。
根据这些假设，将列车制动系统简化为如图1所示的模型，考虑轮轨附着的四自由度振动模型，模型中的扭转运动部分与纵向运动部分通过相同轮轨力进行耦合，列车制动系统的动力学方程如下式所示：
式中：
图2所示为三体接触介观模型。由图2可见：制动盘与制动块的接触界面分为三体接触区域(简称三体区)和两体接触区域(简称两体区) 2部分。第三体介质由图2中不同粒径的球形粒子组成。图2中，
式中：
基于Horng的三体微接触模型[17]，颗粒载荷力
式中：
CEB模型中粗糙峰载荷
式中：
式中：
对三体接触界面的摩擦因数取固定值，两体接触界面的摩擦因数使用经典的Stribeck干摩擦模型[19]并参考文献[20]的处理方法进行平滑处理，公式如下：
式中：
三体摩擦模型的宏观摩擦因数可表示为
由此得到制动力
式中：
在列车制动时，轮对的瞬时蠕滑率
式中：
对轮对小滑移黏着曲线近似线性化[21]，有
式中：
令系统状态变量
令式(3)右端等于零，可得系统平衡点
其中：
2 干燥轨道条件下稳定性分析
根据李雅普诺夫一次近似理论，若系统稳定点处雅可比矩阵对应的特征值实部均为负，则系统在平衡点处渐近稳定，若至少有一特征值实部为正，则系统在平衡点处不稳定。图3所示为系统雅克比矩阵的特征值实部随初始车速变化曲线。图3中，R1~R8为系统雅可比矩阵的特征值实部，因8个特征值两两共轭，故其特征值实部满足R1=R2，R3=R4，R5=R6，R7=R8。
从图3可以看出：随列车初始车速增大，系统特征值的实部逐渐由较大的正值降低为小于零，在临界点A(2.35，0)之后，系统稳定点处雅可比矩阵的特征值实部全部小于零，可见制动系统的不稳定状态仅在车速较低时发生。
为进一步研究列车制动系统的振动在不同初始车速下的变化情况，以初始车速为分岔参数，做出轮对扭转振动角速度变化的分岔图，如图4所示。计算时，规定轮对旋转方向为正方向。
由图4可见：随初始车速逐渐增大，制动系统的运动状态经历了从混沌振动到周期振动，最终进入稳定状态的转变；当初始车速达到0.73 m/s时，系统从混沌振动转为周期振动；当车速增至2.93 m/s时，稳定性显著提升，系统进入稳定的工作状态；随列车初始车速增大，制动系统振动的最大振幅也呈现出增大的趋势。在本文中将混沌区间与周期振动区间统称为振荡区间，对照李雅普诺夫一次近似理论结果，可发现分岔图中振荡区间与稳定区间临界值的数值解析结果(2.93 m/s)与制动系统线性化结果相近。
为了探究不同的轨道条件对列车制动颤振的影响，在湿润轨道条件下做出制动系统运动的分岔图，该条件下的轮轨黏着系数见文献[22]，分岔图如图5所示。
从图5可以看出：相较于干燥条件下的轨道条件，系统在湿润条件下运行时，其整体振幅明显降低，系统振荡区间的临界车速减小，稳定区间增大。在周期振动区间，随初始车速增大，系统振幅增大不再明显。
对于不同的轨道黏着条件，影响较大的是轨道峰值摩擦因数。根据制动系统稳定点处的雅可比矩阵，利用李雅普诺夫一次近似理论求解不同轨道黏着条件下系统的稳定区间，如图6所示。由图6可以看出：随轨道峰值摩擦因数增大，系统的不稳定区间均逐渐减小。良好的轮轨黏着条件使蠕滑曲线的斜率较大，这意味着在制动过程中，蠕滑力对滑移率的变化更为敏感。当滑移率发生微小变化时，蠕滑力会迅速增大，从而对系统施加更大的激励力。若系统的阻尼不足以耗散这些额外的能量，则系统就会出现负阻尼效应，系统振动更容易发生。
3 车轮磨损计算
在列车制动过程中，制动系统产生的振动会传递至车轮，使车轮与轨道之间产生时变的蠕滑力，进而加剧车轮磨损，这种不均匀磨损不仅会改变车轮的几何形状，而且会进一步加剧轮对振动，因此，有必要研究列车制动系统振动诱发的车轮磨耗问题。利用ZOBORY磨耗模型[23]，可以计算本文的车轮径向磨耗，具体表达如下：
式中：
由此轮对的径向磨耗量
式中：
由上述研究可知，制动系统振动仅在车辆低速时发生，根据式(13)可知，轮对的周期性磨耗容易发生在系统的周期振动区间，因此，通过磨耗计算模型可以计算周期振动区间内车轮的磨耗情况，观察不同道路条件下车轮蠕滑率变化与对应的车轮磨耗情况，如图7所示。
由图7可知：不同的轨道条件对应的蠕滑率振动频率基本一致，但在较低的轮轨黏着条件下(对应图7中的湿润轨道条件)，蠕滑率的波动幅值明显较大。从式(20)可知：车轮磨耗量与对应蠕滑力和蠕滑率的乘积呈正比，因此，在轮轨低黏着条件下，车轮的不均匀磨耗深度也越大。
4 结论
1) 制动系统的不稳定振动仅在车速较低时发生，随车速增大，系统先后经历了混沌振动、周期振动，直到进入稳定区间。
2) 制动系统的摩擦颤振现象易发生在轮轨黏着条件较好时，随轨道峰值摩擦因数逐渐增大，制动系统的不稳定区间随之增大。
3) 不同的轨道条件对应的蠕滑率振动频率基本一致，在较低的轮轨黏着条件下，蠕滑率波动区间较大，车轮的不均匀磨耗深度也较大。
张宇航, 周劲松, 周凯, 等. 不同轮轨黏着条件下列车制动系统振动特性与车轮磨耗分析[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2025, 56(9): 3992-3999.
ZHANG Yuhang, ZHOU Jinsong, ZHOU Kai, et al. Analysis of vibration characteristics of train braking system and wheel wear under different wheel-rail adhesion conditions[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2025, 56(9): 3992-3999.
http://dx.doi.org/10.11817/j.issn.1672-7207.2025.09.036