1.1　提升机传动系统与提升系统的力学模型

在实际工程应用中，为了提高提升机的运行效率与稳定性，通常为普通规格电机的传动系统配备减速器。图1所示为双绳缠绕式提升机示意图。由图1可见，传动系统主要包括减速器、传动轴、卷筒等，提升系统主要包括钢丝绳、天轮、容器等。传动系统与提升系统通过卷筒与钢丝绳悬绳进行耦合交互。

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双绳缠绕式提升机示意图

传动系统减速器为行星齿轮减速器，由太阳轮、行星轮、内齿圈和行星架构成，其各构件的振动位移可记为，其中，x和y分别表示沿横方向和纵方向的线位移；、和分别表示绕x、y和z轴的角位移；下标s、c、r和pi分别表示太阳轮、行星架、内齿圈和第i个行星轮。采用集中质量法建立行星齿轮减速器动力学模型，将齿轮视为集中质量圆盘，将啮合副弹性变形视为沿啮合线的时变弹簧刚度^[19-21]，将支承处的弹性变形视为等效弹簧刚度，则行星齿轮减速器动力学模型如图2所示。

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行星齿轮减速器动力学模型

参照图2所示行星齿轮各构件的几何关系，可分别得到振动过程中第i个行星轮与太阳轮的相对位移、与内齿圈的相对位移、与行星架的相对位移、，有：

(1)

式中：；；；；、、和分别为太阳轮、行星架、内齿圈和行星轮的半径；为啮合角度；为初始状态时第i个行星轮与x轴的夹角；为传递误差。

传动轴与减速器相连，承担着传递转速和扭矩的作用，当其受到外部激励或减速器振动激扰时，会发生弹性变形，进而影响卷筒与提升钢丝绳的振动响应。结合工程实际，考虑传动轴的几何构型与弹性变形特征，采用有限单元法建立传动轴的动力学模型。

将传动轴划分为n个轴段单元，选择第i个轴段单元为研究对象，该单元轴向长度为，质量为，半径为，两端面节点位移分别为与，通过形函数可将单元内距离端面为a的截面位移用单元节点位移表示，记为弯曲形函数，有

(2)

(3)

(4)

式中：为扭转形函数。

提升系统钢丝绳的振动与张力是工程中的主要关注对象，为了较真实反映提升系统的振动状态，构建提升系统“横-纵-侧”三向耦合振动集中参数模型。

1) 悬绳模型由个等效弹簧和个集中质量构成，悬绳第i个集中质量振动位移记为。

2) 垂绳模型由个等效弹簧和个集中质量构成，垂绳第i个集中质量的振动位移记为。

3) 天轮视为刚性圆盘，考虑其振动对钢丝绳的影响，将其线位移与角位移记为。

4) 容器视为刚体，根据实际工况，将容器位移简化为沿x、y和z方向位移与绕y轴转动，记为，容器与罐道之间采用等效弹簧与阻尼连接。

双绳缠绕式提升机提升系统动力学模型如图3所示。

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提升系统动力学模型

1.2　传动系统与提升系统耦合环节建模

提升机卷筒由轮毂与筒壳构成，传动系统激扰经由轮毂作用于筒壳。改变筒壳与悬绳端部连接处的振动位移，从而影响提升系统钢丝绳的振动状态，引发张力变化。同时，提升系统钢丝绳张力变化又会作用于卷筒，双绳结构出现张力差时会使卷筒产生扭振，进一步加强传动系统激扰对提升系统钢丝绳振动状态的影响。因此，为合理反映传动系统与提升系统耦合环节的力学与几何关系，考虑卷筒的实际构型与作用力传递方式，将卷筒轮毂视为刚性圆盘，筒壳对悬绳端部的作用通过参变形函数实现，构建了传动-提升系统耦合环节的动力学模型，如图4所示。由图4可见，轮毂质心与轴段单元节点相连，将相连单元节点位移分别记为、、，通过弯曲形函数与扭转形函数可得悬绳端部所在卷筒截面的位移为：

(5)

(6)

式中：，，它们分别表示左右2根悬绳 端部所在卷筒截面的位移；上标“′”表示对变量求导；、的表达式可参照式(4)，和分别为2根悬绳端部所在卷筒截面与轮毂的距离。

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传动-提升系统耦合环节动力学模型

在实际工程中，悬绳端部随时间沿卷筒轴向移动，因此，形函数中参数、是时间t的函数。记初始时刻悬绳端部所在卷筒截面与轮毂的距离为、，卷筒转速为，钢丝绳截面积为A，根据钢丝绳与卷筒缠绕的几何关系，可得：

(7)

式中：为考虑钢丝绳在卷筒上不同排线形式所设的系数，当钢丝绳平铺时，。

参照图4所示卷筒与悬绳的几何关系，可建立悬绳端部振动位移、与悬绳端部所在卷筒截面位移、的转换矩阵，有：

(8)

式中：上标1和2分别为左右2根悬绳的编号；为悬绳与水平方向的夹角；为筒壳的外径。结合式(5)~(8)，便可得到传动系统传动轴单元节点与提升系统悬绳端部的振动位移关系。

1.3　提升机传动-提升耦合系统动力学方程

运用分析力学方法，选取传动系统与提升系统中各构件的振动位移为广义坐标，建立双绳缠绕式提升机传动-提升耦合系统的动力学方程。该系统的动能可写为：

(9)

式中：、、与分别代表行星齿轮中太阳轮、行星架、内齿圈与第i个行星轮的动能；中的上标“”表示变量对时间求导；为传动轴第i个轴段单元动能；与分别为卷筒中3个轮毂、两段筒壳的动能；为第j根悬绳、垂绳的动能；为第j个天轮的动能；为容器动能；为行星轮数量；为行星轮质量；为行星架转速。

上述物理量的相关表达式为：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

双绳缠绕式提升机传动-提升耦合系统的势能可写为：

(17)

式中：为行星齿轮势能；为第i个轴段单元的势能；为卷筒两段筒壳的势能；为第j根悬绳、垂绳的势能；为第j个天轮势能；为容器势能。上述物理量的相关表达式分别为：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中：为对应对象的质量；为对应对象的直径转动惯量；为对应对象的极转动惯量；为对应对象的转速；为对应对象的长度；为钢丝绳单位长度质量；和分别为第i个行星轮与太阳轮、内齿圈之间的时变啮合刚度；、分别为行星轮横向、纵向的支承刚度；、与分别为内齿圈横向、纵向与扭转的支承刚度；为悬绳、垂绳模型中等效弹簧的刚度；和分别为天轮平移方向与绕轴旋转方向的刚度；为容器与罐道之间等效弹簧刚度；和分别为轴段的惯性矩、极惯性矩；和分别为筒壳的惯性矩、极惯性矩；E和G分别为弹性模量和剪切模量；为钢丝绳模型第i个等效弹簧所受静态张力；为对应钢丝绳模型第i个等效弹簧的长度变化；、和分别为筒壳轴段节点坐标的横向、纵向与扭转位移；、、和为形函数整理矩阵，其表达式为：

(24)

将系统动能与势能进行整理，通过拉格朗日方程可得提升机传动-提升耦合系统的动力学方程为：

(25)

式中：与分别为提升机传动-提升耦合系统的广义坐标和非有势力向量；为系统的质量矩阵；为系统的阻尼矩阵，其包含了由传动系统动能得到的陀螺力矩阻尼、耦合系统的结构阻尼、容器与罐道之间的阻尼；为系统的刚度矩阵，其矩阵组合示意图如图5所示。

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系统刚度矩阵组合示意图

2.1　实验平台设计与搭建

为验证双绳缠绕式提升机传动-提升耦合系统动力学模型的准确性，设计并搭建了双绳缠绕式提升实验平台。该实验平台主要由机械框架、驱动电机、二级行星齿轮减速器、传动轴、卷筒、钢丝绳、天轮、罐道、重物以及相应的支承、制动设备组成。根据双绳缠绕式提升机的工作原理，驱动电机提供动力，经减速器降低转速并增大扭矩，通过传动轴传至卷筒，卷筒带动2根钢丝绳，通过天轮导向与罐道约束，提升或下放重物。参照《多绳缠绕式矿井提升机》^[22]，根据提升钢丝绳等效关系与提升时间等效关系^[23]，结合现有实验条件，设计实验平台的主要参数。

(26)

提升高度与提升时间的关系可表示为：

(27)

式中：和分别为实验平台和矿井的钢丝绳直径；和分别为实验平台和矿井的提升高度；与分别为提升加速阶段的加速度与时间；与分别为提升匀速阶段的速度与时间；与分别代表提升减速阶段的加速度与时间。

实验平台的主要参数如表1所示，通过式(26)~(27)可知，该实验平台可以对《多绳缠绕式矿井提升机》中提升高度为500~800 m的(2JKD-4×3与2JKD-4.5×3.4)双绳缠绕式提升机进行模拟。

2个张力传感器安装在提升钢丝绳末端，与重物固定连接，用于测量钢丝绳末端张力；2个加速度传感器固定于钢丝绳末端上方0.1 m处，用于测量该处钢丝绳横向振动加速度；利用数据采集设备采集信号并进行识别记录，进而分析提升钢丝绳的动态响应。

2.2　实验方式与结果

为满足实验目的并使实验效果更显著，采用激励响应实验方式进行实验。在提升过程中，对卷筒左侧轮毂实施时间为1 s的紧急制动，以观测钢丝绳的横向振动加速度及张力差的变化。随后，将实验平台参数代入耦合系统模型，并模拟与实验相同的外部输入激励，即对卷筒左侧轮毂施加阶跃制动力，计算钢丝绳的输出响应，并将计算结果与实验结果进行比较。以电机转速250 r/min的提升过程为例，分别绘制实验、模型的钢丝绳张力差时程曲线与左侧钢丝绳横向振动加速度时程曲线，如图6所示。此外，为进一步验证耦合系统模型的准确性，分别选取200、250和300 r/min电机转速的提升过程进行实验和计算，结果见表2。

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钢丝绳张力差与振动加速度时程曲线

由图6与表2可见，虽然实验测得的钢丝绳振动加速度与张力差因受外界因素影响大于理论模型结果，但二者在数量级上保持一致。图6表明耦合系统模型与实验测得的钢丝绳振动加速度与张力差的时程曲线在响应趋势及规律上表现出较高的一致性；表2表明，在不同电机转速下，2种方法得到的响应均值、标准差、最大值均接近。上述结果验证了双绳缠绕式提升机传动-提升耦合系统动力学模型的准确性，表明该模型能够有效模拟实际系统的动态行为。

3.1　双绳缠绕式提升机实例计算

以2JKD-4×3型号双绳缠绕式提升机为研究对象，减速器采用ZZL1000型号二级行星齿轮减速器，该提升机主要参数如表3所示，暂不考虑传动轴联轴器弹性变形影响。提升机运行位移曲线与速度曲线如图7所示。

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提升机运行位移与速度曲线示意图

将双绳缠绕式提升机相关参数代入式(25)进行计算。采用Newmark-β法，时间步长取0.01 s，得到提升系统钢丝绳的振动时程响应。以容器上端0.5 m处钢丝绳响应为分析对象，将该处钢丝绳在x、y和z方向振动响应加速度与2根钢丝绳张力差计算结果汇总至表4中，并选取钢丝绳y方向振动响应与钢丝绳张力差绘制时程曲线，如图8所示。

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钢丝绳横向振动与张力差时程曲线示意图

由图8和表4可见：在正常提升工况下，传动-提升耦合系统引发钢丝绳纵向(x方向)振动显著大于横、侧方向振动，印证了实际工程中关注钢丝绳纵向振动张力差的必要性；钢丝绳2号的振动幅值略小于钢丝绳1号的振动幅值，体现了传动系统弹性变形与作用力传递方式对提升系统钢丝绳的影响；计算结果与实际结果相符，说明了运用传动-提升耦合系统动力学模型计算双绳缠绕式提升机钢丝绳振动响应的有效性。

3.2　多工况下不同模型得到的最大张力差对比

为进一步验证传动-提升耦合系统动力学模型的适用性，依次选取正常工况(工况1)、传动系统非同步制动工况(工况2)、提升系统单侧天轮偏摆工况(工况3)为计算背景，分别运用耦合系统模型(模型1)、刚性卷筒提升模型(模型2)与弹性梁理论卷筒模型(模型3)计算3.1节中的实例，并逐一改变实例中转轴直径、筒壳厚度、卷筒直径等结构参数，对比分析3种模型的计算结果，对实际工程中最关注的钢丝绳最大张力差进行汇总，结果如图9所示。其中，对单侧天轮施加正弦位移激励(幅值为0.2 mm)，模拟提升系统单侧天轮偏摆工况^[23]；对卷筒两端轮毂施加等幅阶跃载荷(时间间隔为1 s)，模拟传动系统非同步制动工况^[24-25]。

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不同工况参数作用下3种模型钢丝绳最大张力差对比

由图9可见：与刚性卷筒提升模型(模型2)相比，耦合系统模型(模型1)的计算结果明显偏离了相应工况下张力差的初始范围；与弹性梁理论卷筒模型(模型3)相比，耦合系统模型(模型1)计算结果不仅在幅值上呈更显著的变化趋势(正常工况、传动系统非同步制动工况与提升系统单侧天轮偏摆工况下的张力差变化率极值分别为15.12%、18.61%和4.72%)，同时还能有效反映出转轴直径对钢丝绳张力差所产生的影响。在耦合系统模型(模型1)中，钢丝绳最大张力差与卷筒直径呈正相关，而与转轴直径和筒壳厚度呈负相关。

在正常工况(工况1)下，转轴直径与筒壳厚度变化引发的最大张力差幅值趋于稳定，分别稳定在46 N和68 N附近；在非同步制动工况(工况2)下，筒壳厚度与卷筒直径变化所导致的最大张力差幅值较接近，最大误差不超过25%；而在单侧天轮偏摆工况(工况3)下，转轴直径与筒壳厚度变化所引起最大张力差呈现出平缓变化趋势，变化率分别在0.9%和0.7%以内。这表明耦合系统模型能够有效反映传动系统结构参数对提升钢丝绳动态性能的影响，若忽略传动系统与提升系统的耦合作用，则会低估钢丝绳最大张力差幅值，从而进一步验证了传动-提升耦合系统动力学模型的适用性和有效性。