群组列车作为一种新兴的铁路运输模式，在全球范围内受到越来越多的关注[1]。随着国民经济的持续增长和大宗货物运输需求的不断攀升，传统的重载铁路运输模式面临运能紧张的挑战。为了突破这一瓶颈，国家层面出台了一系列政策，支持重载铁路技术创新和运输组织模式的优化。例如，中国神华能源股份有限公司等单位实施的“重载列车群组运行控制系统技术研究与应用”项目，旨在通过智能单元列车间的自协同安全控制，实现高密度、大运能的灵活机动运行，这不仅能够提升运输效率，还能增强运输组织的灵活性和时效性，满足快捷货运的需求。发展列车群组对于提升重载铁路运输效能具有重要意义。通过加大行车密度，列车群组运行模式能够有效解决运能紧张问题，实现运输资源的最大化利用。这种模式的实施，能够突破车站接发车、集解编运输组织模式、快捷货运等瓶颈，提高运输效率和安全性[2]，对于推动铁路运输行业的可持续发展具有深远影响。围绕重载列车群组运行模式，行业内外正开展大量研究。宋宗莹等[3]研究了重载机车异质群组的操纵特性建模与协同控制，提出一种基于分布式动态矩阵控制的节能运行方案，并通过仿真验证了其有效性。丁欢等[4]提出重载群组列控系统安全计算机平台国产芯片替代的关键技术，实现了软硬件完全自主可控，保障了铁路安全运营。倪少权等[5]研究基于列车群组运行的双线重载铁路群组计划优化方法，通过改进粒子群优化算法，提升了线路输送能力，满足了终到站需求。卓芩羽等[6]构建重载铁路混编群组列车开行方案编制模型，采用SANSA算法求解，优化了货物总在途运输时间和运输成本。阳晋[7]利用模态分析法探讨了重载铁路群组列车牵引供电系统的并联谐振频率，并为谐波治理提供了理论支持。程育等[8]提出基于高维网络的城轨列车群组运行图与车底接续协同优化模型，有效降低运营成本，提升服务水平。吕军等[9]研究群组列车前后车间距对重载列车气动特性的影响，发现车间距小于700 m时能优化气动特性，特别是当间距缩减至200 m时减阻效果最佳。宋宗莹等[10-11]研究了基于群组运行模式的列车运行图智能编制系统，提出基于群组运行的重载铁路列车运行图优化方法，建立了以总旅行时间最小为目标的优化模型，研究结果表明，群组运行模式能够显著提高线路的运输能力，降低单元列车的总运行时间，提高重载铁路的运输效率。综上所述，目前的大部分研究集中在控制方式、通信方式等技术和设备方面的研究，对于群组运行模式与运输组织方式结合的研究还较少[5]。当前关于重载群组运行计划优化、运行图优化以及重载群组智能编图等内容的研究已经表明，随着场站数量、线路数量、单元列车数量的增加，重载列车运行时空决策与优化的研究属于NP难问题，无法在多项式内求解[12]。在群组列车众多运行环节中，接发车效率被认为影响列车运行时间的主要因素，短进路的发车方式虽然从控制模式上对接发车效率不足问题进行了一定程度的缓解，但是缺乏在运输组织层面的进一步优化[13]。因此，本研究聚焦重载群组列车接发车过程的股道占用问题，构建列车群组运行模式下股道分配的快速、优质算法，达到以最小化运行组织干预手段，最大化提升重载列车运输效能的目的，从而为其他业务环节的进一步优化提供理论和方法支撑。
1 问题描述
1.1 术语定义
群组列车：由1列或多列实体单元列车组成的一个列车群，地面设备按照一列车对列车群进行控制，列车群内各列车协同控制。
紧后(前)股道：与列车行进方向相同且与当前占用股道在拓扑结构上相连的下一个(上一个)股道。
1.2 群组运行模式概述
群组运行控制系统的提出及完善与虚拟连挂技术的发展息息相关。LRICH等[15]在1999年首次提出单元列车之间不通过传统车钩进行物理连接，而是通过通讯与控制技术相互保持一定距离的列车运行模式。近年来，学术领域关于列车虚拟连挂运行方式开展了大量研究和讨论[16-18]。重载铁路群组运行的核心在于将多列单元列车借助机车无线通信/车地无线通信技术实现虚拟编组连接。群组内的各单元列车以前车为基准点，确保后续列车维持既定安全距离。此外，通过集成信息技术与管理系统，实现对群组列车运行状态的实时追踪、监控与灵活调整，以确保重载铁路群组计划的高效执行与安全[2]。
图1至图4是群组列车A从甲站经乙站前往丙站的示意图：停靠在甲站不同股道上的实体列车
1.3 重载列车股道分配问题定义
通过1.2小节的描述可以看出，多群组协同运行过程中，群组列车对车站股道的选择具有多元特性。受限于机车牵引特性差异、股道参数差异及车站联锁设备固有设计逻辑，不同实体车在不同股道的停靠组合将产生海量解编组方式。解编组排列方式的不同将直接影响群组运行效率，因此，本文重点研究重载群组列车解体后停靠过程中车站股道的分配问题，从而达到提高群组列车运行效率及现有线路运能的目的。
2 模型构建
2.1 模型假设
1) 假设车站股道建模前都进行了拓扑化处理，且不考虑自然条件不同对股道技术参数的影响。
2) 假设建模前群组列车运行时刻表能够提前获取。
3) 假设所有单元列车在各个站点都需要占用股道，不考虑到达解体列车不占用股道的情况，且不考虑站间行驶过程中单元列车在群组内位置对编组时间的影响。
4) 对股道进行了虚拟化操作，即在较长股道中间设置虚拟信号机，使得该股道在保证安全的情况下能够前后同时停靠2列以上单元列车。这也是交通领域进行路径分配与优化过程中常用技术手段[14]。
2.2 符号说明
重载列车群组运行模式下股道分配模型构建过程涉及的集合、参数与决策变量分别如表1、表2和表3所示。为了区分集合和其他符号，所有集合采用花体并加粗表示。根据运行图及线路条件确定各集合内的元素组成及表2中的
| 集合符号 | 说明 |
|---|---|
 | 车站集合 |
 | 股道集合 |
 | 所有单元列车集合 |
 | 车站  |
 | 所有群组集合构成的集合族 |
 | 由若干列单元列车   |
 | 群组 |
 | 根据运行图确定与单元列车 |
 | 根据线路技术条件，在车站 |
 | 与股道 |
 | 与股道 |
| 参数 | 说明 |
|---|---|
 | 每个群组内单元列车最大上限 |
 | 群组 |
 | 群组列车数量 |
 | 单元列车 |
 | 单元列车 |
 | 单元列车 |
 | 单元列车 |
 | 单元列车 |
| 决策变量 | 说明 |
|---|---|
 | 0-1变量，表示列车 |
2.3 模型构建
2.3.1 目标函数
运行时间是运输组织过程中的重要指标。群组运行需要频繁根据线路需求动态调整编组形态，若站内解编组耗时过长，敏捷性将大打折扣，导致本应节省的时间被站内操作消耗殆尽，直接影响到虚拟编组列车多群组运行的总时间。为提高重载列车整体运输效率与效益，根据本文符号定义方式，总解编组时间最少可以表述为：
2.3.2 约束条件
1) 唯一性约束。每列单元列车在每个车站最多占用一个股道。当公式(1)取小于号时表示该群组列车已经被解体，不会再次出现在后续车站。
2) 独占性约束。每个车站的每个股道，在同一时间内只能由1列单元列车占用。若运行图确定的单元列车
3) 群组完整性约束。每列单元列车在各车站要满足行车计划表中设定的解体和编组要求，即行车计划表中某个群组在任一个车站包含单元列车的数量要与行车计划表中设定的数量一致。所有在运行的群组构成群组集合族
4) 列车运行连续性约束。每列单元列车在出发车站和到达车站之间要连续运行。
5) 匹配性约束。除了公式(1)的唯一性约束，单元列车与股道的长度、承重和技术等级需要保持一致。
6) 群组内单元列车数量上限约束。
7) 0-1变量约束。
3 算法设计
从2.3节中的模型可以看出，重载列车群组运行模式下股道分配问题为0-1整数规划问题，该问题中变量和约束的规模随着单元列车数量、车站数量、股道数量呈指数式增长。为了使本文所提方法在各种运行环境下给出快速且优质的股道分配方案，需要进一步提高模型求解速度。为此，本文提出一种并行自适应遗传算法来满足以上需求。
3.1 自适应并行遗传算法设计
3.1.1 编码方法
编码方法直接影响到遗传算法的交叉、选择和变异操作，因此很大程度上决定了算法效率。在优化时间窗内，可能存在多个执行不同任务的群组列车同时使用同一个车站的不同股道资源，因此，本文的染色体设计如图5所示。其中，每个基因位表示某股道在优化时间窗内的占用情况，每个基因位由
3.1.2 种群初始化
本文采用贪心加随机的方式进行种群的初始化操作，操作步骤如下。
步骤1，
步骤2，对于
步骤3，
步骤4，对
步骤5，
步骤6，单元列车
步骤7，流程结束。输出初始染色体
经过步骤1到步骤6获得初始染色体，该染色体通过贪心方式获得。为了保证初始种群的多样性，随机调节子基因位之间的位置，调整过程如下所示。
步骤1，输入初始染色体
步骤2，当循环次数没有达到
步骤3，当循环次数没有达到
步骤4，随机选择
步骤5，输出经随机置换操作后的
步骤6，输出初始种群。
3.1.3 自适应选择
假设染色体
为充分保证优质染色体在后续寻优过程中能够尽可能保存下来，使得算法更快收敛，本文利用自适应概率进行染色体选取。概率计算方法如式(11)所示：
式中：
3.1.4 交叉操作
本文染色体上的基因位有明确物理意义，因为同车站的不同股道一般处于相邻基因位，因此本文选择随机2点交叉的方式选择染色体基因片段，选择过程如图6所示。
交叉操作是模拟自然选择和生物遗传的关键步骤，其必要性在于通过组合较好父代个体的特征生成新后代，从而提高全局搜索能力，并保持种群多样性。通过自适应选择确定被选染色体后(父代1)，利用图6所示的方法确定被交叉片段，随后利用相同的规则确定父代2染色体。2个染色体通过图7所示的方式交换各自的染色体片段产出子代1和子代2染色体。新生成的个体加入种群中，替换适应度较低的个体，使得种群总量不变。
3.1.5 变异操作
变异操作与交叉操作的染色体选择过程类似。首先，利用如式(12)所示的方法确定被选择的染色体，式(12)中
式(10)和式(11)极大概率规避了不可行染色体的存在，但是在交叉后依然可能造成子代染色体不可行，从而造成种群进化缓慢，影响优化结果。为加快寻优进度，避免解池内染色体同质化现象的出现，提出了镜像变异策略：每个染色体在交叉过程中同步维护哈希表，该表判定染色体内是否有基因位存在冲突(违背约束条件)；若哈希表为空，则采取随机选择并替换基因位的变异方式(如图8所示)；若该哈希表不为空，则从中随机选择2个存在冲突的点位，同步进行图8中的变异操作(如图9所示)，从而提高了不可行解转化为可行解的概率。
本文采用解修复机制进一步保证染色体的可行性，对于非可行染色体的修复过程如下：从左到右逐一判定各个基因点位是否违背模型的约束(1)至约束(8)，当出现约束违背时，利用算法1中的优先顺序调整2单元列车对股道的占用情况；逐一调整后染色体仍然不可行时，则将该染色体抛弃。
3.2 并行运算架构设计
通过并行化，可以更有效地利用计算资源，特别是在需要处理大规模数据或复杂模型时，合理分配任务采取并行运算的方式可以提高决策效率。基于本文问题特点及所选编码方法、交叉方法和变异方法，提出重载列车群组运行模式下股道分配的并行遗传算法，算法架构如图10所示。在各个节点服务器上计算染色体片段的适应度，并根据计算结果进行同站股道染色体的选择、交叉与变异操作。由于各个服务器节点上存有站场的股道拓扑数据、运行计划数据以及联锁设计数据，因此可以将式(10)中的参数替换为
4 实验分析
本部分算例求解过程中的所有代码使用Python编写，对比实验中的理论最优解使用Python调用商业求解器GUROBI实现。遗传算法中的选择、交叉、变异操作通过遗传算法开源项目PyGAD实现(https://github.com/ahmedfgad/GeneticAlgorithmPython)。本文共设置3台机器进行并行运算架构设计的有效性验证，主节点为个人笔记本电脑(Intel(R) Core(TM) Ultra 7 155H 1.40 GHz；32.0 GB RAM)，子节点为2台阿里云Linux服务器(Intel(R) Xeon(R) Platinum 8163 CPU @2.5 GHz; 32 GB RAM)。利用MPI4Python实现多服务器之间的通信以及并行处理。
4.1 数据分析
为充分验证方法有效性，实验选取我国北方某地区9站8区间的实际线路数据，该线为半自动闭塞制式，全线为计算机联锁，线路上各个站点的技术指标以及限速情况如表4所示。股道数量影响群组内单元列车数量，线路运行速度、道岔以及道岔限速是
| 站场 | 车站性质 | 股道数量 (包括正线) | 道岔限速/ (km∙h-1) | 线路允许速度/ (km∙h-1) | 列车运行限速/(km∙h-1) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 重车 | 空车 | 公务车、轨道车 | |||||
| 车站1 | 编组站 | 11 | 30～45 | 70 | 70 | 70 | 70 |
| 车站2 | 会让站 | 3 | 45 | ||||
| 车站3 | 中间站 | 9 | 30～45 | 80 | 80 | 80 | 80 |
| 车站4 | 中间站 | 8 | 30～45 | ||||
| 车站5 | 会让站 | 3 | 30～45 | ||||
| 车站6 | 会让站 | 3 | 45 | ||||
| 车站7 | 中间站 | 5 | 45 | ||||
| 车站8 | 中间站 | 7 | 30～45 | ||||
| 车站9 | 区段站 | 12 | 30～45 | ||||
| 站场 | 道岔 | 限速/(km∙h-1) |
|---|---|---|
| 车站1 | 110、113、119、125、112、128、142、144、146、108、148、150、127、129、152、154、156、158、136、115、114、124、126、130、136、121、123 | 30 |
| 132、109、138、140、111、102、104、117、116、118、120、122、101、103、105、107 | 45 | |
| 车站2 | 3、5、4、6 | 45 |
| 车站3 | 12、15、22、25、27、36、37、39、41、61、5、7、9、11、45、47、49、51、3、16、19、20、43、65、27、29、31、33、17 | 30 |
| 1、4、7、11、24、21、58、2、3、9、27、56、5、18、60 | 45 | |
| 车站4 | 5、15、17、21、23、25、27 | 30 |
| 7、6、8、10、12、13、19、18、9、11 | 45 | |
| 车站5 | 10 | 30 |
| 6、7、8、9 | 45 | |
| 车站6 | 7、8、9、10 | 45 |
| 车站7 | 8、11、12、9、11、13、15 | 45 |
| 车站8 | 21、23、25、27、16、18、20、22、26 | 30 |
| 19、24、9、11、13、15、10、12、14、17、29、31、33、35 | 45 | |
| 车站9 | 10、12、18、20、34-38、40-44、46、48、56、58、60、62、64、66、68、70、76、23、26、28、30、32、50、52、54、56、60、62、64、66 | 30 |
| 5、7、13、15、17、19、21、23、41、43、45、63、65、69、2、4、6、8、10、12、18、20、22、24、34、36、38、40、42、44、46、48、58 | 45 |
4.2 案例设计
在利用实际线路数据的基础上，仿真设计14个主要场景测试案例，各个测试案例包含的群组列车数量、每个群组列车内单元列车数量(最多7辆)以及每个单元列车的最大载重量如表6所示。所有群组列车均从车站1向车站9行驶，群组列车数量及单元列车最大载重量利用高斯分布随机生成。为了验证本文方法在各种场景下的运行稳定性，每个测试用例下设置3组不同高斯分布参数(保守型、平稳型和激进型)，因此，在考虑不同随机生成方式全排列的情况下，本文共设置了126个子测试用例(
| ID | 群组列车 个数 | 每个群组列车内 最大单元列车个数 | 每个单元列车 最大载重量/千吨 | 群组内单元列车数量 随机生成方式 | 单元列车最大载重量 随机生成方式 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 | 3 |   |   |
| 2 | 1 | 7 | 5 |  |  |
| 3 | 2 | 3 | 3 |   |   |
| 4 | 2 | 7 | 5 |  |  |
| 5 | 3 | 3 | 3 |   |   |
| 6 | 3 | 7 | 5 |  |  |
| 7 | 4 | 3 | 3 |   |   |
| 8 | 4 | 7 | 5 |  |  |
| 9 | 5 | 3 | 3 |   |  |
| 10 | 5 | 7 | 5 |  |  |
| 11 | 6 | 3 | 3 |   |  |
| 12 | 6 | 7 | 5 |  |  |
| 13 | 7 | 3 | 3 |   |  |
| 14 | 7 | 7 | 5 |  |  |
为验证本文自适应并行遗传算法(APC, adaptive parallel genetic algorithm)的有效性以及求解算法的先进性，设计对比实验如下。
1) 理论最优方案(TO, theoretical optimal method)。使用商业求解器GUROBI对2.3小节中的模型进行直接求解作为理论最优值。TO-3和TO-10分别表示求解过程中MinGap参数为3%和10%；考虑到线路长度和运行场景，最大求解时间为3 h，超过该时间默认GUROBI无法对该测试用例进行求解。
2) 人工分配方案(MA, manual allocation method)。前文提到，目前还没有群组列车实际运行案例，因此采用先到先服务的股道贪心分配方式模拟人工分配结果。在先到先服务的分配模式下，遵循算法1中提到的单元列车长度与股道尽可能匹配原则。
3) 禁忌搜索算法(tabu search algorithm, TS)。禁忌搜索算法是组合优化求解算法中的常用方法，也是交通领域进行资源配置优化的常用手段[19]。仿照wogen本文编码方式构造禁忌搜索初始解，并参照文献[20]进行禁忌搜索算法实现工作。
4.3 优化结果分析
为了验证本文方法在提高群组解编组时间上的有效性，对9站8区间实验区段内各测试用例在3种随机扰动策略下的平均求解时间和平均优化结果进行分析和比较。受限于文章篇幅，重点罗列与本研究最为相关的统计性指标，实验结果如表7所示。
| ID | TO-3 | TO-10 | MA | TS | APC | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| R | T | R | T | R | T | Gap | R | T | Gap | R | T | Gap | |
| 1 | 1.3 | 26.0 | 1.3 | 23.6 | 2.1 | 4.3 | 0.37 | 1.6 | 5.4 | 0.18 | 1.43 | 5.80 | 0.08 |
| 2 | 4.4 | 44.5 | 4.4 | 39.9 | 14.4 | 5.7 | 0.69 | 5.7 | 34.9 | 0.23 | 4.66 | 32.10 | 0.05 |
| 3 | 1.5 | 68.0 | 1.5 | 62.9 | 4.2 | 9.1 | 0.65 | 2.4 | 16.1 | 0.39 | 1.54 | 15.63 | 0.05 |
| 4 | 2.7 | 125.8 | 2.82 | 113.5 | 5.9 | 8.2 | 0.54 | 3.1 | 22.7 | 0.13 | 2.84 | 20.20 | 0.04 |
| 5 | 1.5 | 72.0 | 1.5 | 67.5 | 2.4 | 10.4 | 0.35 | 2.1 | 30.6 | 0.27 | 1.57 | 26.27 | 0.02 |
| 6 | 2.9 | 109.4 | 2.9 | 102.0 | 11.3 | 10.4 | 0.75 | 3.4 | 12.1 | 0.17 | 2.91 | 10.41 | 0.02 |
| 7 | 2.8 | 2 754.0 | 3.04 | 2 447.1 | 8.6 | 12.6 | 0.68 | 3.4 | 20.2 | 0.20 | 3.16 | 15.74 | 0.13 |
| 8 | 8.3 | 6 471.9 | 9.13 | 5 985.1 | 29.7 | 11.5 | 0.72 | 12.6 | 18.6 | 0.34 | 9.29 | 14.71 | 0.11 |
| 9 | 3.6 | 4 968.0 | 4.02 | 4 544.0 | 8.2 | 9.8 | 0.56 | 9.7 | 73.4 | 0.63 | 4.14 | 54.24 | 0.12 |
| 10 | 8.2 | 6 058.8 | 9.19 | 5 664.8 | 28.1 | 10.6 | 0.71 | 10.4 | 92.4 | 0.21 | 9.22 | 82.44 | 0.11 |
| 11 | 7.4 | 5 724.0 | 7.4 | 5 239.0 | 21.1 | 10.1 | 0.65 | 12.7 | 112.1 | 0.41 | 8.48 | 81.85 | 0.13 |
| 12 | 20.6 | 8 065.6 | 23.46 | 4 382.1 | 81.2 | 23.0 | 0.75 | 30.6 | 141.3 | 0.33 | 24.66 | 82.14 | 0.16 |
| 13 | — | — | 40.24 | 4 938.6 | 124.5 | 25.3 | — | 51.9 | 193.4 | — | 42.60 | 92.2 | — |
| 14 | — | — | — | — | 147.8 | 24.6 | — | 65.0 | 245.4 | — | 53.40 | 95.5 | — |
| 平均 | 5.4 | 2 874.0 | 8.5 | 2 585.4 | 35.0 | 12.5 | 0.62 | 15.3 | 72.8 | 0.29 | 12.13 | 45.00 | 0.08 |
从表7可以看出，本文构建的重载群组列车股道分配整数规划模型可以极大地降低群组列车的解编组时间。通过对比MA和TO可以发现，简单模仿人工贪心分配的模式会造成股道资源的极大浪费，相对于最优停靠方案，在中小规模测试用例上(ID1-8)解编组时间平均增加了2倍左右(3.2；9.8)，在大规模测试用例(ID 10-12)上，解编组时间增加了将近2.5倍(10.0；34.7)。TS算法相对于MA具有更好的全局搜索能力，因此平均编组时间只有MA的一半左右(15.3；35)。APC算法在小测试用例上(少于3个群组)与最优结果的Gap都在8%以内，且所有测试用例下的平均Gap也控制在10%以内。MA算法是线性贪心算法，因此运行速度最快，且不会随着求解规模的增大明显增加，但是求解效果最差。相对于TO和TS算法，本文的APC算法使用了并行化求解框架(6个子节点，1个主节点)，能够求解GUROBI无法求解的超大规模测试用例(ID 13-14)，即使将MinGap值设置到10%也无法在可接受时间内给出ID14的求解结果，且在其他大规模测试用例上的求解速度是To-3的60倍到100倍，To-10的20～30倍，比TS算法平均快了40%。因此，本文方法能够更好地处理优化效果与计算时间之间的平衡。
4.4 算法并行化优势分析
本文从重载群组列车问题特点和所构建的模型特点出发进行遗传算法的并行化设计，极大提高了重载群组列车计划制定过程中股道分配的速度。为充分展示并行化设计对模型运算速度的影响，对ID12用例在各种仿真环境下的优化结果进行分析，结果如图11所示。从图中可以看出，不管是在保守型、平稳型还是稳健性的编组策略下，并行化设计都能将总求解时间降低3倍左右。本文的并行化设计在主节点染色体组合过程中会一定程度上破坏染色体多样性，因此随着子服务器节点个数的增加，解编组总时间存在一定程度增加的现象，但是增加的幅度都在10%以内，相对于求解时间的缩短，该优化结果的损失是能够接受的。从实验结果还可以看出，APC运行时间不会随着子节点服务器数量的增加而无限降低，当子服务器节点达到6到8个时已经能够得到最优提速效果。所以，本文的并行化设计能够利用有限计算资源，最大化地提高运算效率，为所提方法的规模化、工程化应用奠定条件，为运输组织相关业务环节的进一步优化提升提供理论基础。
4.5 灵敏度分析
5 结论
1) 本文构建的股道分配模型能够显著降低群组列车甩挂和编组时间。相对于人工贪心分配方法，在实验区段内能够将甩挂和编组总时间节省50%左右。
2) 本文提出的自适应并行遗传算法能够有效提高模型求解速度。能够解决商业求解器无法求解的超大规模重载群组列车股道分配问题，且在较大规模的测试用例上求解速度比商业求解器快60倍以上。
3) 在较大规模的测试用例上，本文提出的APC算法比目前组合优化领域常用的禁忌搜算算法具有更好的寻优效果和寻优速度。
王付军,刘鸿飞,崔莉等.重载列车群组运行模式下股道分配方法研究[J].铁道科学与工程学报,2025,22(10):4398-4411.
WANG Fujun,LIU Hongfei,CUI Li,et al.Research on track allocation method under heavy haul train group[J].Journal of Railway Science and Engineering,2025,22(10):4398-4411.