地铁运营引起的环境振动问题严重影响城市居民的日常生活、危害地面建筑物寿命以及影响精密仪器设备的正常使用[1]，已成为城市轨道交通研究领域的热点问题[2-6]。在理论研究方面，目前最常采用有限元法对城市轨道交通地下线路的环境振动问题进行研究[7-10]，但由于地下线路的子结构众多，导致传统有限元模型的离散区域大，并且为了提高计算精度还需保证有限单元具有较小的尺寸以及引入人工边界，因此传统有限元法存在计算成本高和效率低的问题。动态子结构法能够缩减模型的自由度，可提高结构低阶振动特性的计算效率[11]。按照子结构界面处理方式的不同，动态子结构法主要包括固定界面模态综合法、自由界面模态综合法和混合界面模态综合法[12]，其中固定界面模态综合(component mode synthesis method, CMS)法概念清晰且不会出现刚体位移和零频率[13]，该方法通过将复杂整体模型划分成若干简单子结构模型，通过提取子结构中的主模态对刚度和质量矩阵进行降阶变换，并根据子结构界面间的位移关系，组装总体模型重新对降阶后的运动方程进行求解，进而得到整体模型的动态响应[14]，因此在研究复杂系统结构自身动力分析方面具有显著优势。动态子结构法由HURTY[15]于1964年提出，但在实际应用时，子结构运动位移表述繁琐。CRAIG等[16]将HURTY提出的动态子结构方法进行了改进，将子结构位移分解为约束模态位移与固定对接模态位移的叠加，解决了子结构运动位移问题后，该方法被广泛应用于航空航天、轮船制造、水利水电以及大型建筑物等复杂系统结构的动力相互作用研究中。很多学者在此基础上对动态子结构法加以改进，以提高其计算精度与计算效率。ZHU等[17]提出一种基于子结构响应灵敏度的改进方法，以加快模型更新的收敛速度，并通过数值模拟和实验验证了该方法的准确性和有效性。SHAMLOOFARD等[18]提出一种新的壳超单元，用于研究具有部分或完全球面几何结构的球面结构线性/非线性静力和自由振动，结果表明壳超单元能够以较低的计算成本获得较高的计算精度。WANG等[19]提出一种新型的自动多级子结构方法，用于处理结构动力学中的大型有限元模型。在地震波对建筑物振动影响的研究中，姜忻良等[20]基于分支模态与约束模态混合法，系统分析了土-结构系统在地震波作用下建筑物的振动响应。李英民等[21]利用CMS法分析了不同尺寸凸起地形在地震波输入下的响应规律，为实际工程山地建筑的设计提供了参考。在城市轨道交通环境振动的研究中，冯青松等[22]将固定界面模态综合法应用于地铁车致建筑物的振动分析，并探究了CMS法在环境振动分析中的适用性、准确度与计算效率，同时研究了相关参数对建筑物振动的影响。综上所述，动态子结构法在大型复杂系统动力学性能的研究中具有一定的优势，在保证计算精度的前提下可有效提升计算效率。然而，动态子结构法在城市轨道交通上盖建筑物车致振动特性的应用方面仍存在不足。首先，该方法前期常用于建筑物的抗震分析，有关车致环境振动的研究较少；其次，动态子结构法仍然存在着不同结构类型子结构划分以及边界条件施加问题，还需进一步研究相关问题对预测结果的影响；再者，影响城市轨道交通上盖建筑物车致振动特性的影响因素较多，需要进一步补充和完善影响因素的相关分析；最后，随着我国城市轨道交通上盖建筑物的大力开发与建设，有关城市轨道交通上盖建筑物车致振动特性的相应研究包含多个子系统的建模以及相互耦合关系，由于相关车致振动研究复杂程度较高，有必要研究快速有效的理论预测方法。为了进一步完善CMS方法在相关领域应用的适用性，本文基于车辆-轨道耦合动力学理论和固定界面模态综合法，研究了地铁列车运行时引起的上盖建筑物的车致振动特性，详细探讨了应用动态子结构法分析城市轨道交通上盖建筑物车致振动问题时的子结构划分方式和边界条件的选择，验证其应用的有效性以及优越性。在此基础上，分别针对振源、传播路径以及受振体，分析行车交会、土体参数及建筑物自身参数对上盖建筑物车致振动特性的影响。
1 基于动态子结构法的上盖建筑物车致振动研究思路及模型
1.1 动态子结构法的应用方式及车致环境振动研究方法
动态子结构法(CMS法)主要通过将复杂结构划分为若干子结构，基于主模态截断法提取其主模态矩阵与约束模态矩阵；利用坐标变换矩阵，根据子结构间的界面位移协调条件将各子结构降阶矩阵合并，进而得到系统广义坐标下的运动方程，之后将方程组求解得到的模态坐标解变换为物理坐标解，即可求解复杂结构完整的低频振动特性。相关理论方法详见文献[23]。总体而言，CMS法的应用大致可分为3个步骤：生成部分、使用部分和扩展部分，应用流程如图1所示。首先，将结构划分为若干子结构与非子结构，定义子结构交界面或者非子结构交界面节点为主的自由度，并提取模型动力特性，将若干子结构凝聚为若干超单元。其次，将若干超单元与非子结构组合成整体模型，相似结构可重复使用同一超单元并通过坐标变换获得；通过计算即可得到主自由度的凝聚解以及非子结构部分的完全解。最后，将超单元扩展即可得到超单元所有自由度的完整解。
本文以地铁下穿某建筑物为研究对象，分别利用CMS法与FEM(finite element method)法建立隧道-土体-建筑物系统二维模型，利用模态振型与瞬态时频响应，探究动态子结构法在城市轨道交通上盖建筑车致环境振动研究中的适用性和有效性，本文的总体研究思路如图2所示。
1.2 隧道-土体-建筑物系统二维模型
本文建立的隧道-土体-上盖建筑示意图如图3所示，其中土体模型沿隧道中心线两侧各取50 m，土体整体高度为60 m；隧道直径和壁厚分别设置为6 m和0.3 m；轨道结构型式为整体式道床；上盖建筑物则考虑为10层混凝土框架结构，层高为3.3 m；梁截面尺寸为0.3 m×0.6 m，桩基和柱截面尺寸为0.6 m×0.6 m，其中桩基为方桩，楼板厚度为0.2 m。建模时则重点考虑了以下问题：首先，本文主要研究地铁车辆在直线路段运行，隧道和各层土体均考虑为线弹性体[24]；其次，隧道在纵向上的结构、材料以及尺寸并无变化，且隧道截面尺寸远小于纵向长度，因此建模时可视作平面应变问题[25]。综合上述特性后建立可反映上盖建筑振动特性的二维模型，在保证计算精度的基础上有效提升求解效率。本文建立的隧道-土体-上盖建筑二维有限元模型如图4(a)所示，其中隧道、土体以及桩基础采用Plane42单元进行模拟，建筑物则采用Beam3单元，单元网格尺寸设置为0.3～1 m，相关参数见表1。为了减小甚至消除边界效应对计算精度的影响，本文采用等效黏弹性人工边界方法[26]，并将最外层单元自由度固定。其中等效黏弹性人工边界阻尼参数和材料参数的确定方法见式(1)：
式中：
| 介质 | 材料名称 | 厚度/m | 密度/(kg∙m-3) | 泊松比 | 弹性模量/Pa | 边界等效弹性模量/Pa | 边界等效阻尼系数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 土层1 | 杂填土 | 7 | 1 800 | 0.35 | 9.3×107 | 1.84×106 | 0.55 |
| 土层2 | 砾砂 | 8 | 2 000 | 0.30 | 4.5×108 | 9.2×106 | 0.25 |
| 土层3 | 中风化泥质粉砂岩 | 10 | 2 250 | 0.28 | 4.2×109 | 8.73×107 | 0.085 |
| 土层4 | 微风化泥质粉砂岩 | 35 | 2 300 | 0.25 | 6.71×109 | 1.43×108 | 0.066 |
| 隧道、轨道基础 | 混凝土 | — | 2 550 | 0.2 | 3.0×1010 | — | — |
| 桩基础、梁、柱 | 混凝土 | — | 2 500 | 0.2 | 3.0×1010 | — | — |
隧道-土体-上盖建筑物子结构模型及其相应划分如图4(b)所示。隧道-土体-上盖建筑物子结构的具体划分依据文献[23]总体划分的基本原则，并结合实际研究需求，重点考虑了以下3个关键问题：1) 子结构1中将建筑物、桩基础与其周边土体考虑为一个整体，既能满足建筑物与桩基础作为一个整体进行装配，又避免了将周边土体与桩基础分开划分子结构时边界节点增多的问题。2) 子结构3与子结构4为相同的子结构，子结构4可通过子结构3进行坐标变换生成。因此在生成子结构阶段时可少生成一个子结构，进而提升建模效率。3) 由于地铁线路中的轨道结构型式较多，子结构2的划分可考虑在整体建模过程中的灵活性，即假如后续进一步研究其他轨道结构型式的整体车致振动特性时，仅需更换子结构2即可完成整体模型的组装。
由于CMS法通过保留子结构的低阶模态可实现整体结构模态自由度的缩减降阶，建议选取关心频率2～3倍频率以内的子结构主模态，即能保证模型动态特性分析的准确性[27]。国标GB/T 13441.2—2008中规定建筑物振动关心频率集中在80 Hz以下，因此利用主模态截断方法获得的各子结构主模态数以及最高阶模态对应频率见表2。
| 子结构 | 主模态截断数 | 最高阶模态对应频率/Hz |
|---|---|---|
| 1 | 1 168 | 159.98 |
| 2 | 30 | 159.65 |
| 3 | 781 | 159.90 |
| 4 | 781 | 159.90 |
| 5 | 341 | 159.84 |
2 基于动态子结构法的上盖建筑物车致振动特性研究
利用本文建立的模型，通过模态分析与瞬态动力学分析验证子结构模型的适用性，并探讨黏弹性人工边界的施加问题。如表3所示，按照不同的人工边界施加方式，利用3种工况对CMS法的适用性进行探讨，其中以工况1作为对照组，主要计算隧道-土体-上盖建筑有限元整体模型在施加黏弹性人工边界后的振型解与瞬态解；工况2依据2.1节中的子结构划分建模，建模过程中将人工边界附加在土体上并提取超单元；工况3将人工边界单独采用有限元建模，其余部分同样按照2.1节中的划分方式并提取超单元建模组装。各工况计算参数及子结构主模态截断频率保持一致。
| 工况1 | 工况2 | 工况3 | |
|---|---|---|---|
| 人工边界条件施加 | FEM | CMS-边界超单元 | CMS-边界非超单元 |
2.1 隧道-土体-上盖建筑系统模态分析
采用CMS法和FEM法计算得到的3种工况整体系统自振频率与前6阶振型图见表4和表5。与文献[28]的模态结果进行对比后发现，2种方法获得的前6阶振型基本一致，各阶自振频率相差很小，尤其在低阶频率范围内的结果更为相近。由于振型存在归一化问题，采用不同方法得到的少数振型在振动方向上有所差异，但整体呈现的振动模式相近，如表5中的第6阶振型。通过对比工况2和工况3可知，假如将人工边界与相邻土体考虑为超单元，系统模态分析的准确度会更高。
| 阶数 | FEM | CMS-边界超单元 | 误差/% | CMS-边界非超单元 | 误差/% |
|---|---|---|---|---|---|
| 29 | 9.923 | 9.935 | 0.12 | 9.984 | 0.61 |
| 104 | 19.989 | 19.997 | 0.04 | 20.166 | 0.89 |
| 212 | 29.974 | 29.987 | 0.04 | 30.269 | 0.98 |
| 341 | 39.958 | 39.977 | 0.05 | 40.493 | 1.34 |
| 509 | 49.909 | 50.035 | 0.25 | 50.615 | 1.41 |
| 702 | 59.918 | 60.342 | 0.71 | 61.073 | 1.93 |
| 振型 | FEM法 | CMS-边界超单元 | CMS-边界非超单元 |
|---|---|---|---|
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 | |||
| 6 |
2.2 隧道-土体-上盖建筑物系统的动力响应
在求解整体系统的动力学特性时，采用两步法[29]研究动态子结构法在车致环境振动分析中的适用性。由于车致上盖建筑的振动主要来自于系统的垂向相互作用，本文基于车辆-轨道垂向耦合动力学理论，将地铁A型车车体视作10自由度的多刚体系统，如图5所示。钢轨则采用连续弹性离散点支撑Euler梁，轮轨间相互接触则考虑为Hertz非线性接触，利用弹簧-阻尼单元模拟扣件将二者连接，进而建立车辆-轨道垂向耦合动力学模型。对整体系统采用显式积分法进行求解[30]，其中车速设定为100 km/h，积分步长选取5×10-4 s，采用美国六级轨道谱不平顺作为轮轨系统的激励，波长范围为1～100 m。列车通过时的扣件力时频曲线如图6所示。另外，建立隧道-土体-上盖建筑物二维模型，采用瞬态动力学方法，以扣件力作为外部荷载模拟隧道内2列车同向运行情况，求解有限元和子结构模型的建筑物振动特性。由于有限元方法在此方面的研究中已得到了广泛认可[7-10]，因此将FEM法与CMS法的结果进行对比，可验证CMS法在隧道-土体-上盖建筑物系统动力分析的适用性，并在此基础上探究其优越性。
为了保证建筑物振动响应分析中阻尼比处在合理的范围，选取隧道-土体-上盖建筑物系统主要分析频段范围内(5～80 Hz)的阻尼比为0.05，有关阻尼比的选取见文献[3]。得到Rayleigh阻尼参数α=2.96，β=1.87×10-4。
选取上盖建筑物1楼和顶楼中跨中心节点作为动力响应分析点，图7、图8和图9分别为该位置在3种工况下的垂向振动加速度时程曲线、垂向振动位移时程曲线以及1/3倍频程振动曲线的结果对比。文献[28]在相同位置的振动加速度结果如下：1楼和顶楼分析点的振动加速度幅值分别为0.04 m/s2和0.05 m/s2。本文计算的时域振动加速度波形和幅值与该文献的结果基本一致，并且结合与文献[28]的模态分析对比结果，验证了本文建立的隧道-土体-上盖建筑模型的准确性和有效性。
表6给出了1楼和顶楼的动力学结果。通过图7、图8和表6的对比结果可知，CMS法与整体结构FEM法得到的加速度与位移波形趋势基本一致，位移波形仅在部分瞬时位置存在较小的误差，但两者的振动幅值相近，表明CMS法适用于地铁上盖建筑的车致振动研究。通过对比不同人工边界条件下的振动位移与加速度时域曲线可知，将人工边界考虑为超单元的计算误差更小，并且将人工边界设置为超单元可进一步缩减模型的自由度，因此对计算结果存储空间的占用以及计算效率都有显著提升。
| 振动加速度/(m∙s-2) | 振动位移/mm | |||
|---|---|---|---|---|
| 1楼 | 顶楼 | 1楼 | 顶楼 | |
| FEM | 0.040 | 0.052 | 0.022 5 | 0.031 1 |
| CMS边界超单元 | 0.043 | 0.073 | 0.023 6 | 0.031 2 |
| CMS边界非超单元 | 0.054 | 0.080 | 0.021 3 | 0.025 0 |
由图9可知，1楼观察点与顶楼观察点的1/3倍频程曲线变化趋势基本一致，尤其在1～3.15 Hz以及6.3～50 Hz范围内体现得更加显著。在振动幅度较大区域内，与整体结构FEM法的计算结果相比，采用CMS法并将边界考虑为超单元和非超单元时的最大误差分别为2.07 dB和8.49 dB，表明将边界设置为超单元时计算结果更优。
由此表明，CMS法与有限元法在研究环境振动时均有较好的准确性，但CMS法建立的模型自由度大幅度减小，进而能够有效提升计算效率，计算效率提升约13%。此外，CMS方法的计算结果在存储空间方面具有显著的优势，见表7。因此，采用CMS方法研究地铁上盖建筑的车致环境振动问题，不仅提升了计算效率，还极大地降低了对硬件的依赖性。此外，将黏弹性人工边界和连接部分均考虑为子结构，较之人工边界采用有限元建模，将其余部分同样采用子结构的方式计算精度更高。因此，建议在采用CMS法建模时，将人工边界均考虑为子结构。
| 建模方法 | 模型自由度 | 计算结果存储空间/GB | 计算时间/s |
|---|---|---|---|
| FEM | 16 652 | 57.40 | 3 060 |
| CMS | 1 800 | 3.18 | 2 651 |
3 上盖建筑物车致振动特性影响因素研究
本节以上盖建筑物各层中跨跨中节点为观测点(如图3所示)，子结构划分及主模态截断频率与前文保持一致，重点考虑不同行车交会情况、土体参数、建筑物结构参数等对上盖建筑物振动特性的影响。
3.1 不同行车交会方式对上盖建筑物车致振动特性的影响
由于城市地铁运行网络愈发庞大，将会经常出现2条或多条地铁列车交会的情况，因此有必要系统研究此种情况对上盖建筑物振动特性的影响。本节考虑在现有隧道正下方，距离隧道线路中心10 m处增加2条线路，相关模型如图10所示。由于列车交会情况较为复杂，本节主要考虑了列车在同向运行时，按照以下5种情况进行分析：
1) 左上方隧道(1L)有列车运行。
2) 上方2条隧道(1L+1R)有列车运行。
3) 左侧2条隧道(1L+2L)有列车运行。
4) 上下4条隧道(1L+1R+2L+2R)同时有列车运行。
5) 对照组：未增加正下方2条隧道时，上方2条隧道有列车同时运行。
各工况下上盖建筑物垂向振动加速度Z振级如图11所示。由图11可知，多条线路中的列车同时运行时，对上盖建筑振动的影响主要体现在振动幅值，振动趋势基本一致，即假如4条线路的列车在同一时刻通过时，将会引起上盖建筑较强的振动。不同楼层的Z振级随高度的增加逐渐增大，其中顶层的振级始终最强。对比工况2和工况5可知，上方2条隧道有列车通过时，在既有线下方新建2组隧道后，则会导致上盖建筑的垂向振动增强，Z振级的最大差值达到了0.87 dB。上述现象同时表明，在既有地下线路建造新隧道时，将会对车致振动的传播形成一定的反射作用。因此，新隧道线路的建造以及列车在多条线路上同时运行时，形成的车致振动很有可能影响列车运行时的动力学等各项性能，这一问题后续也值得高度关注。
3.2 土体参数对上盖建筑物车致振动特性的影响
本节以图4(b)子结构模型为基础，主要研究列车同向运行情况下，以下3种土层情况对上盖建筑物振动特性的影响：1) 对照组：未改变土体参数；2) 土层1与土层2为砾砂(硬土层)；3) 土层1～3为中风化泥质粉砂岩(岩土层)。图12给出了3种情况下上盖建筑物Z振级。由图12可知，列车运行产生的振动经由不同土体传递到建筑物内，各楼层Z振级随着楼层上升而增大，并在顶层达到最大值。另外，将隧道上方土体假设为硬土层和岩土层将会增大建筑物的振动，Z振级分别增大了约1.4 dB和2.3 dB，由此表明松软土体具有一定的吸振作用。假如地铁线路处于对振动等级要求严格的区域，在隧道上方的土质为硬岩层地段时，更应考虑上盖建筑物的减振。
3.3 上盖建筑物自身参数对车致振动特性的影响
建筑物自身参数对其振动特性也有较大影响。本节通过研究列车同向运行时，不同梁截面尺寸、楼层高度以及楼层层数对建筑物各层观测点Z振级的影响，分析上盖建筑结构参数对其振动特性的影响。
梁截面尺寸分别设置为0.3 m×0.4 m、0.3 m×0.5 m、0.3 m×0.6 m(对照组)以及0.3 m×0.7 m这4种工况，其他参数保持不变，建筑物各层观测点的Z振级分布如图13所示。由图13可知，4种工况下的上盖建筑物各层振动趋势基本一致，但梁截面厚度对上盖建筑物振动幅值影响较大，即随着梁截面厚度的增加，上盖建筑物振动逐渐减弱，并且减弱幅度逐渐减小，由此表明梁截面厚度对上盖建筑的振动有较大的影响。
依据实际建筑物的建设标准，将上盖建筑的楼层层高分别设置为2.7、3.0、3.3(对照组)和3.6 m，其他参数不变，上盖建筑物各层观测点的Z振级分布如图14所示。由图14可知，室内层高主要影响上盖建筑高层的振动，并且变化趋势较为规律，呈现出一种近似线性增大的趋势。其原因主要在于层高影响上盖建筑物的总高度，因此层高的增大导致高层的垂向振动加剧。
图15给出了总层数为5、10(对照组)、15和20层这4种上盖建筑的Z振级分布。由图15可知，上盖建筑的层数并非是决定其振动特性的关键因素。原因在于虽然不同层数的上盖建筑均表现为顶层的振级最强，但其垂向振级随着上盖建筑总层数的增加而呈现减弱的趋势，即不同层数的上盖建筑整体表现为低层建筑的振动明显强于高层建筑的振动。例如，10层和20层上盖建筑的第10层，作为顶层时其振级明显更强，但作为单一高层上盖建筑结构，依然表现出振级随高度的增加而增大。因此，研究地铁上盖建筑车致振动问题时，不能单一认为上盖建筑物楼层越高，其车致振动受列车运行的影响更大，而是需要综合考虑多种因素的综合作用。
4 结论
1) 针对上盖建筑物的车致环境振动研究，CMS法具有较好的适用性和优越性，有效提升了计算效率和减小了硬盘存储空间，并且将黏弹性人工边界和连接部分设置为超单元时，计算精度更高。
2) 行车交会运行方式和土体参数对上盖建筑物车致振动的振动趋势影响较小，主要影响其振动幅值。列车交会运行方式的影响趋势表现为随列车数量的增加，上盖建筑物的振动幅值增强。松软度较好的土体具有一定的吸振作用，上盖建筑物的车致振动幅值较小。2类工况下上盖建筑物顶层的振动始终最强。
3) 梁截面厚度、室内层高以及建筑物层数均会影响上盖建筑物的车致振动特性。其中，随着梁截面厚度的增加，上盖建筑物的振动幅值逐渐减弱，并且随着梁截面厚度的不断增加，振动幅值的减弱幅度逐渐减小。室内层高主要影响上盖建筑物高层的振动特性。不同层数上盖建筑物的振动特性整体表现为低层建筑的振动明显强于高层建筑的振动，但单一上盖建筑物顶层的垂向振动最大。
4) 假如在既有地下线路建造新隧道，车致振动传播时形成的反射效果有可能影响列车运行时的其他各项性能。由于土体性能的不同，在地铁线路减振设计时应根据土体参数选择相应的减振措施。上盖建筑物层数并非是决定其车致振动的关键因素，不能单一认为地铁上盖建筑物越高，受车致振动的影响更大，而是需要考虑多种因素的综合作用。
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